公演を撮影した動画を劇団のサイトに載せたいのですが可能ですか？

誰でも無料で見れる、という条件を守っていただけるならご自由にどうぞ。
ただ、視聴に対して課金されるのなら事前に打ち合わせをする必要があると思います。

BGMには好きな曲をつかってもいいですか？

その音楽の著作権を侵害しない限りは演出上自由に設定してかまいません。
イベント用音楽や効果音のCD、または著作権フリーの素材など、条件によって使用が許されている音源は色々ありますので、そちらから探すことをオススメします。
もし予算に余裕があるなら、使用料の申請要項がJASRACのサイトに書いてあるので参考にしてみて下さい。
また、高校演劇大会などでは運営本部が一括して申請するような場合もあるらしいので、所属する県の演劇協会へ確認してしてみるといいでしょう。